Physel.ru

Рассматривая криволинейное движение тела, мы видим, что его скорость в разные моменты различна. Даже в том случае, когда величина скорости не меняется, все же имеет место изменение направления скорости. В общем случае меняются и величина, и направление скорости.

Рис. 49. Изменение скорости при криволинейном движении.

Таким образом, в криволинейном движении всегда имеется изменение скорости, т. е. это движение происходит с ускорением. Для определения этого ускорения (по величине и направлению) требуется найти изменение скорости как вектора, т. е. требуется найти изменение величины и изменение направления скорости.

Пусть, например, точка, двигаясь криволинейно (рис. 49), имела в  некоторый   момент скорость v₁ а  через  малый промежуток времени — скорость v₂. Изменение скорости есть разность между векторами v₁ и v₂. Так как эти векторы имеют различное направление, то нужно взять их векторную разность. Изменение скорости выразится вектором w, изображаемым стороной параллелограмма с диагональю v₂ и другой стороной v₁. Ускорением мы называем отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло. Значит, ускорение а равно

и по направлению совпадает с вектором w.

Выбирая t достаточно малым, придем к понятию векторного мгновенного ускорения (ср. § 16); при произвольном t вектор а будет представлять среднее ускорение за промежуток времени t.

Направление ускорения криволинейного движения не совпадает с направлением скорости, в то время как для прямолинейного движения эти направления совпадают. Чтобы найти направление вектора ускорения при криволинейном движении, достаточно сопоставить направления скоростей в двух близких точках траектории. Так как скорости направлены по касательным к траектории, то по виду самой траектории можно сделать заключение, в какую сторону от траектории направлено ускорение. Действительно, так как разность скоростей в двух близких точках траектории всегда направлена в ту сторону, куда искривляется траектория, то, значит, и ускорение при криволинейном движении всегда направлено в сторону вогнутости траектории. Например, когда шарик катится по изогнутому желобу (рис. 50), его ускорение на участках АВ и ВС всегда направлено так, как показывают стрелки, причем это не зависит от того, катится шарик от A к С или в обратном направлении.

Рис. 50. Ускорения при криволинейном движении всегда направлены в сторону вогнутости страектории.

Рис. 51. К выводу формулы для центростремительного ускорения.

Рассмотрим равномерное движение точки по криволинейной траектории. Мы уже знаем, что это — ускоренное движение. Найдем ускорение. Для этого достаточно рассмотреть ускорение для частного случая равномерного движения по окружности. Возьмем два близких положения А и В движущейся точки, соответствующие малому промежутку времени t (рис. 51, а). Скорости движущейся точки в А и В равны по величине,  но различны по направлению.

Найдем разность этих скоростей, пользуясь правилом треугольника (рис. 51, б). Треугольники ОАВ и О'А'В' подобны, как равнобедренные треугольники с равными углами при вершине. Длину стороны А'В', изображающей приращение скорости за промежуток времени t, можно положить равной at, где а — величина искомого ускорения. Сходственная ей сторона АВ есть хорда дуги АВ; вследствие малости дуги длина ее хорды может быть приближенно принята равной длине дуги, т. е. vt. Далее, 0'A'=0'B'=v; ОА= OB=R, где R — радиус траектории. Из подобия треугольников следует, что отношения сходственных сторон в них равны:

откуда находим искомое ускорение по величине:

          (27.1)

Направление ускорения перпендикулярно к хорде АВ. Для достаточно малых промежутков времени можно считать, что касательная к дуге практически совпадает с ее хордой. Значит, найденное ускорение можно считать направленным перпендикулярно («нормально») к касательной к траектории, т. е. по радиусу, к центру окружности. Поэтому такое ускорение называют нормальным или центростремительным ускорением.

Если траектория — не окружность, а произвольная кривая линия, то в формуле (27.1) следует взять радиус окружности, ближе всего подходящей к кривой в данной точке. Направление нормального ускорения и в этом случае будет нормально к касательной к траектории в данной точке. Если при криволинейном движении ускорение постоянно по величине и направлению, его можно найти как отношение приращения вектора скорости к промежутку времени, за который это приращение произошло, каков бы ни был этот промежуток времени. Значит, в этом случае вектор ускорения можно найти по векторной формуле

          (27.2)

аналогичной формуле (18.1) для прямолинейного движения с постоянным ускорением. Здесь v₀ — вектор скорости тела в начальный момент промежутка времени t, a v — вектор скорости в  конечный  момент этого промежутка.