Physel.ru

Рассмотрим подробнее, как изменяется кинетическая и потенциальная энергия тела, брошенного вверх.

При подъеме тела скорость его убывает по закону v=v₀—gt, где v₀ — начальная скорость, t — время поднятия, считая от начального момента (§55). Убывает и кинетическая энергия:

E_к=1/2 m(v₀-gt)²=1/2mv₀²-mv₀gt+1/2 mg²t^2_.

Так как начальная кинетическая энергия тела есть 1/2mv₀², то к моменту t убыль кинетической энергии будет равна

E_к'=mv₀gt-1/2 mg²t².          (101.1)

С другой стороны, высота тела в момент t есть

h=v₀t-1/2gt².

Приращение потенциальной энергии, которое соответствует подъему на высоту h, равно mgh, т. е.

E_п=mv₀gt-1/2mg²t².

Сравнивая это выражение с (101.1), видим, что убыль кинетической энергии за любой промежуток времени t как раз равна потенциальной энергии, приобретенной телом за тот же промежуток времени. Таким образом, при движении тела вверх его кинетическая энергия постепенно превращается в потенциальную.

Когда движение вверх прекратилось (наивысшая точка подъема), вся кинетическая энергия полностью превратилась в потенциальную. При движении тела вниз происходит обратный процесс: потенциальная энергия тела превращается в кинетическую.

При этих превращениях полная механическая энергия (т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий) остается неизменной, так как при подъеме убыль кинетической энергии полностью покрывается приращением потенциальной (а при падении — наоборот). Если потенциальную энергию тела у поверхности земли считать равной нулю (§97), то сумма кинетической и потенциальной энергий тела на любой высоте во время подъема или падения будет равна

E=E_к+E_п=1/2mv₀²,          (101.2)

т. е. остается равной начальной кинетической энергии тела.

Этот вывод представляет собой частный случай одного из важнейших законов природы — закона сохранения энергии.

Упражнения. 101.1. С башни высотой 20 м брошен камень со скоростью 15 м/сек. Считая, что сопротивление воздуха отсутствует, найти скорость камня при падении его на землю. Сравнить со скоростью падения с той же высоты, но без начальной скорости.

101.2. Вывести законы движения тела, брошенного по вертикали, из формулы (101.2), считая известной зависимость E_п от h.